Fractales

Continuando con los fractales. A finales del siglo XIX o a principios del siglo XX aparecieron los primeros fractales geometricos, nada mas de ver la luz fueron tachados de monstruos ( y si eso pensaban los hombres de ciencia, imaginense que pensarian los hombres de religion jaja..!!). Pero a la larga ( en tiempo, mal pensados!! ) alentaron las busqueda rigurosa de conceptos como infinito, curva continua o dimension. Esparcidos por la literatura matematica y fisica, fueron recopilados por Benoit Mandelbrot a mediados del siglo XX, en forma de museo de horrores, y se fundo una nueva teoria geometrica: los fractales.

Empecemos con el conjunto de Cantor, que toma su nombre de Georg F.L.P. Cantor, que en 1883 lo utilizo como herramienta para una de sus principales investigaciones: el continuo. Su verdadero creador fue Henry Smith, un profesor de geometria de Oxford, 1875. Es uno de los fractales mas antiguos, para obtenerlo procedemos asi. Partimos de un segmento de tamaño unidad, So=[0,1] como se muetras en k1. Dividimos el segmento en tres subsegmentos de tamaño 1/3 cada uno. Borramos el central y nos quedamos con los intervalos cerrados restantes, que serian S11=[0,1/3] y S12=[2/3,1] (Como se muestra en la imagen de arriba). Asi obtenemos el resultado mostrado en k2 de la unica imagen que me permite este post.
Repitiendo la division en tres partes en cada uno de estos segmentos y borrando de nuevo el fragmento central de cada uno de estos, obtenemos los cuatro intervalos siguientes ( en k3).

S21=[0,1/9], S22=[2/9,1/3],S23=[2/3,7/9], S33=[8/9,1]
(Como se muestra en las imagenes de arriba)
Cada uno tiene longitud 1/9.

Si observamos la secuencia de longitudes, comenzamos con un segmento So de longitud 1 y tras la division pasamos a tener 2 segmentos, S11 y S12 de longitud 1/3 cada uno. En la operacion 2 teniamos 4=2^2 segmentos ( S21,...S24) de longitud 1/9=1/3^2 cada uno. Si repetimos el proceso de dividir en tres segmentos iguales y borrar el central, en el paso n-esimo tendremos 2^n intervalos cerrados o segmentos (Sn1,Sn2, ...Sn2^n), cada uno de longitud 1/3^n.

Lo siguiente es la secuencia del número de segmentos y sus respectivas longitudes en sucesivas iteraciones:

nº segmentos longitud del segmento
2 1/3
4 1/9
8 1/27
... ...
2^n 1/3^n

Después de infinitos pasos obtendremos el subconjunto de los números reales que denominamos conjunto de Cantor o polvo de Cantor.

Bueno... ¿Y qué? Calculemos cuál es la longitud final de los segmentos eliminados sucesivamente:

1/3+2/9+4/27+8/81+...= (aqui la formula que pongo junto a la imagen del post, ya que no me permite hacerlo directamente)

Pero, entonces, ¿después de borrar tanto intervalo nos queda "algo" o no? chales!!!!! Esta bien fumado.
Hemos de hacer una pequeña observación: los intervalos borrados son abiertos (recuerda que nos quedamos con los cerrados). Es decir: cuando borramos el intervalo (1/3, 2/3) se salvan de la quema los puntos 1/3 y 2/3, es decir, los extremos del intervalo borrado. Así que los extremos de los intervalos nunca son eliminados. Podemos concluir que C no está vacío. Tenemos puntos como 0, 1, 1/3, 2/3, 1/9, 2/9, ... que pertenecen al mismo. ¿Hay más que los extremos? La intuición nos dice que no. Pero un análisis más pausado la contradice.

Nuestro interés se centra en la geometría fractal y el conjunto de Cantor exhibe de forma evidente una de las propiedades más importantes de los fractales: la autosimilaridad. Tomando el intervalo [0,1/3] y ampliándolo 3 veces (los matemáticos dirían "homotecia de centro 0 y razón 3"), obtendremos de nuevo el conjunto de Cantor original. Si tomamos el intervalo [0, 1/9] y lo ampliamos 9 veces obtendremos de nuevo el conjunto de Cantor. De hecho, desde cualquier nivel podemos conseguirlo. De modo que toda parte, por minúscula que sea, contiene la información del todo.

Cualquier parte de una línea recta es una línea recta idéntica a la total salvo por un factor de escala. Observa sin embargo que muchas formas euclídeas no tienen esta propiedad. Un arco de círculo no es un círculo por sí mismo o un lado de un triángulo no es triangular.

Bueno, espero razonen un poco la formula.
Por el momento se acaba el tiempo, seguiremos con esto en el sig post.
Saludos